この問題では、関数 f(x, y) = y² / (x³ – y) の2階偏導関数を求める方法について解説します。
1. 与えられた関数の確認
まず、与えられた関数は次の通りです。
f(x, y) = y² / (x³ – y)
2. 1階偏導関数を求める
次に、1階の偏導関数を求めます。
まず、xについて偏微分を行います。
∂f/∂x = ∂(y² / (x³ – y)) / ∂x
分母を考慮して、合成関数の微分を利用し、計算します。
∂f/∂x = -3x²y² / (x³ – y)²
次に、yについて偏微分を行います。
∂f/∂y = ∂(y² / (x³ – y)) / ∂y
ここでも、分母を考慮し、微分します。
∂f/∂y = 2y / (x³ – y) + y² / (x³ – y)²
3. 2階偏導関数を求める
次に、2階の偏導関数を求めます。
まず、∂²f / ∂x² を求めるため、∂f / ∂x の結果を再びxで偏微分します。
∂²f / ∂x² = ∂(-3x²y² / (x³ – y)²) / ∂x
これを計算すると。
∂²f / ∂x² = 6x y² / (x³ – y)³
次に、∂²f / ∂x∂y を求めます。まず、∂f / ∂x の結果をyで偏微分します。
∂²f / ∂x∂y = ∂(-3x²y² / (x³ – y)²) / ∂y
これを計算すると。
∂²f / ∂x∂y = -6xy / (x³ – y)³
次に、∂²f / ∂y² を求めるため、∂f / ∂y の結果を再びyで偏微分します。
∂²f / ∂y² = ∂(2y / (x³ – y) + y² / (x³ – y)²) / ∂y
これを計算すると。
∂²f / ∂y² = 2 / (x³ – y) – 2y / (x³ – y)² + 2y / (x³ – y)²
したがって、∂²f / ∂y² = 2 / (x³ – y) となります。
4. まとめ
この問題では、与えられた関数の2階偏導関数を求める過程を解説しました。偏導関数の計算において、合成関数の微分を使いながら、順を追って計算していきました。
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