「7の7^7乗の一の位の数字を求めなさい」という問題で、mod4を使用する理由が理解できないという質問に対して、解説を行います。特に、「なぜ4なのか？」という点と「他の数ではいけないのか？」という点について詳しく説明します。
解法の背景
まず、問題の解答にあたり、7のべき乗の一の位を求める方法について確認します。数式で表すと「7^(7^7)」となり、この数の一の位を求めることになりますが、普通に計算すると非常に大きな数になり計算が難しくなります。
なぜmod4を使うのか？
解答において「mod4」を使う理由は、7のべき乗の一の位が繰り返しのパターンに従っているからです。7の1乗、7の2乗、7の3乗…の一の位は、4回ごとに繰り返します。例えば。
- 7^1 = 7（一の位は7）
- 7^2 = 49（一の位は9）
- 7^3 = 343（一の位は3）
- 7^4 = 2401（一の位は1）
ここで、一の位は4回ごとに「7, 9, 3, 1」の繰り返しになっていることがわかります。したがって、7^(7^7)の一の位を求めるために、7^7を4で割った余り（mod4）を計算し、その余りに対応する一の位を取ることで解が求まります。
他の数ではいけないのか？
「なぜmod4を使うのか？」という点で、7を使った場合に繰り返しのパターンが4回であるため、4を使う必要があるということです。他の数（例えば2や3）であれば、その繰り返しのパターンが異なるので、適切なmodの値が変わります。例えば、2の場合は、2, 4, 8, 6のパターンが繰り返され、3の場合は、3, 9, 7, 1のパターンが繰り返されます。
まとめ
7^(7^7)の一の位を求める際にmod4を使うのは、7のべき乗の一の位が4回ごとに繰り返されるためです。mod4を使って余りを求め、その余りに対応する一の位を選ぶ方法が解法となります。他の数では繰り返しのパターンが異なるため、適切なmodの値を選ぶことが重要です。
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