1965年東大数学文科[5]の問題、「点Pが正三角形ABCの周上を、点Qが円Kの周および内部を動くとき、PQの中点Mの動きうる範囲の面積」を解くために必要な手順と考え方について詳しく解説します。
問題の理解と基本情報の整理
この問題では、平面上に半径2の円Kと1辺の長さ4の正三角形ABCがあり、点Pと点Qがそれぞれ指定された範囲を動きます。求めるのは、線分PQの中点Mが動く範囲の面積です。
まず、円Kの半径が2、正三角形ABCの一辺の長さが4であることを確認しましょう。これにより、点Pは正三角形ABCの周上を動き、点Qは円Kの周および内部を動きます。次に、この動きに関連する幾何学的な特徴を分析していきます。
1点を固定する方法の解説
この問題で重要なのは「1点を固定する解き方」です。これを行うためには、まず「点P」または「点Q」のいずれかを固定して、他の点の動きを追跡することがポイントです。
例えば、点Pを固定し、点Qが円Kの内部および周上を動くとします。この場合、点MはPQの中点として動き、PQの長さや方向が変化します。これにより、点Mが動く範囲を求めることができます。
中点Mの動く範囲を求める
次に、点Pを固定した状態で、点Qが円Kの内部および周上を動くとき、点Mが描く軌跡を求めます。このとき、点MはPQの中点なので、PQの長さが変化すると中点Mもその位置を変えることになります。
点Pが正三角形ABCの周上を動くので、点Pの位置は固定される範囲内にあります。点Qは円Kの中で自由に動けるため、点Mの動きの範囲は、点Pの位置と点Qの動きによって影響を受けます。
面積の求め方
点Mの動く範囲を求めるためには、点Mが描く軌跡の面積を求めます。これは、点Mの位置が移動する範囲を囲む図形の面積を計算することに相当します。具体的には、点Pの位置を中心に点Mが動く範囲を求めることになります。
この問題では、点Mが描く範囲は円形または楕円形に近い形になると予想されます。計算にあたっては、点Pと点Qの相対的な位置関係を考慮し、点Mの動きの範囲を数学的に解析します。
まとめ：問題を解くためのキーポイント
この問題を解くためのキーは、「1点を固定する解き方」と「中点Mの動きの範囲を求めること」です。点Pまたは点Qを固定して、他の点の動きを追跡することで、問題を効率的に解決できます。また、点Mが描く範囲の面積を求める際には、点Pの位置や点Qの動きがどのように影響するかを正確に理解し、計算に取り組むことが求められます。
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