数Ⅲの極値を求める際に2回微分する理由とその条件

数Ⅲの微分法において、極値を求めるために2回微分を使う理由について、初心者の方は疑問に思うかもしれません。この記事では、極値を求める際に2回微分をする理由と、どういう状態で2回微分が必要になるのかを解説します。

極値とは何か？

まず、極値について確認しておきましょう。関数の極値とは、その点を中心に関数の値が一番大きい（または小さい）点のことです。極大値は最大値を、極小値は最小値を指します。極値を求めるためには、関数の傾きが0になる点を探し、その点が極大値か極小値かを判断する必要があります。

極値を求めるための最初のステップは、1回微分をしてその結果が0になる点（傾きが0になる点）を探すことです。この点を「臨界点」と呼びます。臨界点での関数の傾きが0であるため、ここが極値である可能性があります。

しかし、傾きが0になる点が必ずしも極値とは限りません。例えば、グラフが単に水平になるだけの点や、曲線の変曲点でも傾きは0になります。このため、次のステップでその点が極大か極小かを判定する必要があります。

極値が極大値か極小値かを判断するためには、関数の2回目の微分を使います。2回微分した結果が正ならば、その点は極小値、負ならば極大値となります。これは、2回微分が関数の凹凸を示すためです。

具体的には、関数の2回微分が正の場合、その点は下に凸（凹形状）となり、極小値を持つことになります。逆に、2回微分が負の場合、その点は上に凸（山型）となり、極大値を持つことになります。このように、2回微分をすることで、極値が極大か極小かを判定することができます。

2回微分をするのは、まず1回微分して臨界点を求め、その臨界点で極値かどうかを判断したいときです。もし1回微分の結果が0になった場合、その点が極値かどうかを判断するために、2回微分を行います。これにより、極値をより正確に特定できます。

まとめると、2回微分を使うのは、極値を判定するための判断材料として非常に有効だからです。

数Ⅲの極値を求める際に2回微分を使う理由は、臨界点が極大値か極小値かを判定するためです。1回目の微分で傾きが0になる点（臨界点）を見つけ、その後2回目の微分を使ってその点が極大か極小かを判断します。2回微分が正なら極小値、負なら極大値となるため、極値を求めるためにはこの手順が重要です。