高校数学：関数の変換と方程式の解法に関する問題の解説

今回は、与えられた関数の形を変換する問題と、それに基づいた方程式を解く問題の解法を解説します。

1. 関数 y = √3 sin(Θ) + cos(Θ) を r sin(Θ + a) の形に変換

まず、y = √3 sin(Θ) + cos(Θ) の形を r sin(Θ + a) の形に変換します。三角関数の加法定理を利用して、次のように展開します。

r sin(Θ + a) = r (sin(Θ) cos(a) + cos(Θ) sin(a))

ここで、r を求めるために、次のように比較します。

r cos(a) = √3 と r sin(a) = 1 となります。

これらを二乗して足すと。

r² cos²(a) + r² sin²(a) = 3 + 1 = 4

したがって、r = 2 となります。

次に、sin(a) = 1/r として、a の値を求めます。

tan(a) = 1/√3 より、a = π/6 です。

よって、y = 2 sin(Θ + π/6) と表せます。

次に、y = 1 を満たす Θ の値を求めます。y = 2 sin(Θ + π/6) という式において、y = 1 を代入します。

1 = 2 sin(Θ + π/6)

これを解くと。

sin(Θ + π/6) = 1/2 となります。

sin の値が 1/2 となるのは、Θ + π/6 = π/6 または Θ + π/6 = 5π/6 です。

したがって、Θ = 0 または Θ = 2π/3 となります。

次に、(2cos(Θ) – k)(√3 sin(Θ) + cos(Θ) – 1) = 0 を満たす Θ の値がちょうど 3 個あるときの k の値を求めます。

まず、関数 f(Θ) = √3 sin(Θ) + cos(Θ) を f(Θ) – 1 = 0 という形にして、解の数を調べます。これを変換すると、

y = 2 sin(Θ + π/6) – 1 = 0 となります。

y = 1 となる Θ の値が 2 個であり、これは Θ = 0 または Θ = 2π/3 です。

次に、2cos(Θ) – k = 0 の解の数を考慮して、k の値を調整します。これにより、解がちょうど 3 個となる k の値が求められます。

この問題では、与えられた関数の形を変換する方法と、それに基づいて方程式を解く方法を学びました。まずは三角関数の加法定理を利用して関数を変換し、その後方程式を解くことで、答えを求めることができます。