グリーン関数を求める方法 - 境界値問題の解法

境界値問題におけるグリーン関数の求め方について解説します。特に次のような2次の線形微分方程式に関して解説します。

d²x/ds² – λ²x = f(x) (x ∈ (s-, s+), λ ∈ C, λ ≠ 0)
x(s+) = x(s-) = 0

1. 問題の設定とグリーン関数の導入

この問題は、2次の線形微分方程式であり、境界条件が与えられています。ここで、グリーン関数は以下のように定義されます。

G(s, s’) は、右辺がデルタ関数 f(s) の場合の解となる関数です。グリーン関数は、次のように定義されます。

d²G/ds² – λ²G = δ(s – s’) (s ∈ (s-, s+))

また、境界条件も適用されます。

G(s-, s’) = G(s+, s’) = 0

グリーン関数を求めるには、以下の手順を踏みます。

まず、問題となっている微分方程式は以下のように変形できます。

d²G/ds² – λ²G = 0 (s ≠ s’)

これを解くと、一般解は次のように得られます。

G(s, s’) = A e^(λs) + B e^(-λs) (s ≠ s’)

境界条件 G(s-, s’) = G(s+, s’) = 0 を適用することで、定数 A と B を求めることができます。

次に、デルタ関数の特性を考慮して解を修正します。デルタ関数の性質を利用して、グリーン関数を最終的に求めることができます。この部分では、デルタ関数の積分を解いて、グリーン関数を求めます。

デルタ関数の特性により、s = s’で解が急激に変化するため、これに適合するように定数を調整します。結果として、グリーン関数が求められます。

このようにして、境界値問題に対してグリーン関数を求めることができます。具体的な計算は詳細にわたるため、ここでは概念的な解法の流れを示しました。実際の計算においては、各ステップで適切な境界条件とデルタ関数の特性を活用することが重要です。

この方法は、線形微分方程式の解析における強力なツールであり、物理学や工学の多くの分野で利用されています。