1/k(k+2)の部分分数分解の方法について

「1/k(k+2)の部分分数分解がわからない」という質問に対して、部分分数分解の方法をわかりやすく解説します。部分分数分解とは、分数を簡単な分数の和に分ける方法です。この問題を解くために必要な手順を順を追って説明します。

部分分数分解の基本

部分分数分解は、複雑な分数を簡単な分数に分けることで、計算を楽にする方法です。一般的な形としては、次のように分数が与えられることが多いです。

このような分数を簡単にするために、分母が因数分解できる場合は部分分数分解を使います。

質問の式は1/k(k+2)です。まず、この式を部分分数分解します。この形では、分母が2つの因数kとk+2に分かれています。これを次のように分けます。

1/k(k+2) = A/k + B/(k+2)

ここで、AとBは定数で、これらを求めるためには次のように計算します。

1 = A(k+2) + Bk

この式を展開して、AとBを求める方程式を作ります。

1 = A(k+2) + Bk = Ak + 2A + Bk

この式をkについて整理すると。

1 = (A + B)k + 2A

ここで、係数を比較してAとBを求めます。まず、kの係数を比べてA + B = 0となり、定数項を比べて2A = 1となります。これらの方程式を解くと、A = 1/2、B = -1/2が得られます。

したがって、元の式は次のように部分分数分解できます。

1/k(k+2) = 1/2k – 1/2(k+2)

このように、1/k(k+2)を部分分数分解すると、1/2k – 1/2(k+2)という形になります。この方法を使うことで、分数をより簡単に扱えるようになります。