直線の方程式を求める方法：点を通り、与えられた直線に垂直な直線を求める

高校数学IIの問題「点(−2、3)を通り、直線5x + 2y – 3 = 0に垂直な直線の方程式を求めよ」について解説します。この問題では、与えられた直線に垂直な直線を求めるためのステップを詳しく見ていきます。

垂直な直線の傾きの関係

まず、直線の傾きについて復習します。2つの直線が垂直である場合、1つの直線の傾きと、もう1つの直線の傾きは、積が-1になります。つまり、傾きがm₁の直線と、傾きがm₂の直線が垂直であるためには、m₁ * m₂ = -1という関係が成り立ちます。

このため、与えられた直線の傾きを求め、その逆数の符号が反転した値を使って垂直な直線の傾きを求めます。

次に、与えられた直線「5x + 2y – 3 = 0」の傾きを求めます。この式をy = mx + bの形に変形することで、傾きを求めます。

まず、与えられた式「5x + 2y – 3 = 0」をyについて解くと。

2y = -5x + 3

y = (-5/2)x + 3/2

この直線の傾きm₁は-5/2です。

与えられた直線の傾きが-5/2であることが分かったので、この直線に垂直な直線の傾きはその逆数であり、符号が反転した値になります。つまり、垂直な直線の傾きm₂は2/5となります。

したがって、垂直な直線の方程式は、傾きが2/5であり、点(-2, 3)を通る直線の方程式を求めることになります。

直線の方程式は「y – y₁ = m(x – x₁)」という点と傾きから求める公式を使います。ここで、mは直線の傾き、(x₁, y₁)は直線上の点です。

今回、傾きm = 2/5、点(x₁, y₁) = (-2, 3)を代入すると。

y – 3 = (2/5)(x + 2)

この式を展開して整理すると。

y – 3 = (2/5)x + (4/5)

y = (2/5)x + (4/5) + 3

y = (2/5)x + 19/5

よって、点(−2, 3)を通り、直線5x + 2y – 3 = 0に垂直な直線の方程式は「y = (2/5)x + 19/5」となります。この方法を使えば、どんな直線に垂直な直線でも求めることができます。基本的な傾きの関係を理解することが、直線の方程式を求めるためのカギとなります。