平方完成は、二次方程式を解いたり、グラフの頂点の座標を求めたりする際に非常に重要な技法です。この記事では、平方完成を使って「y = 2x² – 8x + 3」を「y = a(x – p)² + q」の形に変形する方法を解説します。特に、あなたが質問された最終的な結果の-5になる理由についても詳しく説明します。
平方完成の基本的な考え方
平方完成は、二次方程式を特定の形に変形する手法です。基本的に、二次式を「a(x – p)² + q」の形式に変形することで、グラフの頂点を求めやすくします。この変形を行うためには、まず二次項と一次項を工夫して分け、足し引きで平方の形に整えます。
問題の式を平方完成する
与えられた式「y = 2x² – 8x + 3」を平方完成で変形する手順を見ていきましょう。
ステップ1：二次項を取り出す
まず、x²の係数が2であるため、式全体を2で割りやすくするために2を因数として取り出します。
y = 2(x² – 4x) + 3
ステップ2：平方完成を行う
次に、x² – 4x の部分を平方完成します。平方完成のためには、xの係数（-4）の半分を2乗して足します。
(-4 / 2)² = 4なので、x² – 4x は (x – 2)² に変形できます。
しかし、この時点で4を足したので、式全体に4を足してしまうことになります。そのため、式に4を加える代わりに、元々の式に2倍して加えた4を引き算で調整する必要があります。
ステップ3：調整を行う
式に4を加えたので、これを調整するために-8を引きます。これで完全な平方完成が完了します。
y = 2[(x – 2)² – 4] + 3
ステップ4：簡略化
最後に、式を簡略化して完成させます。
y = 2(x – 2)² – 8 + 3
y = 2(x – 2)² – 5
最終的な結果についての説明
最終的に得られた式は「y = 2(x – 2)² – 5」です。この結果は、平方完成の際に4を加えた分を-8で調整し、その後定数項として-5を得るというプロセスに基づいています。あなたが最初に計算した「y = 2(x² – 2)² + 5」では、xの項の平方完成で誤りが生じている可能性があります。
このように、平方完成では常に加えた値を調整することが必要であり、そのため最終的に-5が答えとして現れます。
まとめ
平方完成は、二次方程式を解くための強力なツールであり、グラフの頂点を求める際にも非常に役立ちます。問題「y = 2x² – 8x + 3」の場合、平方完成によって「y = 2(x – 2)² – 5」に変形することができました。この手法を使いこなすことで、二次方程式の解法がより直感的に理解できるようになります。
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