部分分数分解は、複雑な分数式を簡単にするために非常に重要なテクニックです。この記事では、部分分数分解の過程を解説し、具体的に「6 / (K(K+1)(K+2))」をどのように分解するかを見ていきます。特に、質問者が疑問に思った式「3{(1/K(K+1))-(1/(K+1)(K+2))}」がどのように導かれるかについても詳しく説明します。
部分分数分解の基本的な手順
部分分数分解は、分母が多項式の積になっている式を、単純な分数の形に分ける方法です。一般的に、分母を1次式の積に分けて、各項ごとに分数を設定します。
今回の式「6 / (K(K+1)(K+2))」は、3つの一次式の積で構成されています。これを部分分数分解するためには、次の形に分けます。
- 6 / (K(K+1)(K+2)) = A / K + B / (K+1) + C / (K+2)
ここで、A、B、Cは定数です。次に、これを解いていきます。
式を元に戻す：定数 A, B, C を求める
まず、分母を共通の K(K+1)(K+2) に揃えます。
- A / K + B / (K+1) + C / (K+2) = (A(K+1)(K+2) + B K(K+2) + C K(K+1)) / (K(K+1)(K+2))
次に、この式を「6 / (K(K+1)(K+2))」と比較して、分子の式を展開します。
したがって、A(K+1)(K+2) + B K(K+2) + C K(K+1) = 6 となるように、A, B, Cの値を求めます。
なぜ「3{(1/K(K+1))-(1/(K+1)(K+2))}」になるのか
質問者の疑問は、部分分数分解後の式が「3{(1/K(K+1))-(1/(K+1)(K+2))}」となる理由についてです。この式は、上記の部分分数分解をさらに整理してまとめた結果です。
具体的には、A, B, C の値が計算されて次のように表されます。
- A = 3, B = -3, C = 0
このように、A = 3, B = -3, C = 0 の場合、元の式は「3{(1/K(K+1))-(1/(K+1)(K+2))}」に簡略化できます。
質問者の計算過程と違い
質問者の計算過程では、部分分数分解の途中で K+1 を消してしまい、「2 / (K(K+2))」という結果が出てしまったようです。この間違いは、分数の項を適切に扱わなかったことが原因です。
正しい手順に従い、各項を正しく分解することで、最終的に「3{(1/K(K+1))-(1/(K+1)(K+2))}」という形が得られることが確認できます。
まとめ：部分分数分解を正しく理解する
部分分数分解は、複雑な分数を単純化する強力なツールです。今回のように、分数の分解を正しく行うためには、分子と分母を丁寧に扱い、定数を適切に求めることが重要です。途中での計算ミスを避けるために、各ステップを確実に踏んでいくことが、正しい答えを得るためのポイントです。
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