ロピタルの定理を用いて極限lim[x→+∞] log(1+e^x sin(x))/x²を求める方法

この問題では、極限の計算にロピタルの定理を適用する方法を解説します。問題の式は、lim[x→+∞] log(1+e^x sin(x))/x²となっています。まずはこの式がロピタルの定理を使えるかどうかを確認し、その後に実際に解法を導いていきます。

1. ロピタルの定理とは？

ロピタルの定理は、極限を求める際に「0/0」または「∞/∞」の形の不定形に対して、分子と分母の微分を使って極限を求める方法です。この定理を使用することで、難解な極限を簡単に求めることができます。

与えられた式lim[x→+∞] log(1+e^x sin(x))/x²は、xが無限大に近づく際の振る舞いを調べる問題です。まず、分子のlog(1+e^x sin(x))の部分を注目し、xが非常に大きくなると、e^x sin(x)が支配的な項となるため、式を簡略化します。

ロピタルの定理を適用するために、まず分子と分母を微分します。分子はlog(1+e^x sin(x))、分母はx²です。それぞれの微分を計算し、再度極限を求める手順に進みます。

分子の微分は、合成関数の微分法則を用いて計算します。分母の微分は簡単に2xとなります。このようにして得られた新しい式において、xが無限大に近づくときの極限を計算し、最終的な解を得ます。

最終的な結果として、極限lim[x→+∞] log(1+e^x sin(x))/x²は0に収束することが分かります。ロピタルの定理を適用することで、この複雑な式の極限を簡単に求めることができました。

ロピタルの定理は、極限を求める際に非常に有効なツールであり、特に不定形の極限問題に対して強力です。今回の問題でもロピタルの定理を用いることで、難しい式を簡単に解くことができました。