単振動の変位xの一般解について

単振動の変位の一般解に関する疑問について解説します。質問の中で述べられているように、単振動の変位xの一般解はBsin(ωt) + Ccos(ωt)という形になります。ここではその理由と、Asin(ωt)の解法がなぜ問題を解く上で十分でないかについて説明します。

1. 単振動の基本的な式

単振動とは、物体が一定の周波数で往復運動する運動の一つです。この運動は、物体の変位xが時間tの関数として表されます。基本的に、単振動は以下の微分方程式で表されます。

x”(t) + ω²x(t) = 0

ここで、x”(t)は変位の2階微分（加速度に対応）、ωは角周波数です。この方程式の解として、一般的には以下の形で表されることがわかります。

x(t) = Bsin(ωt) + Ccos(ωt)

ここでB、Cは定数であり、初期条件により決定されます。

Asin(ωt)の形では、単振動の加速度や変位の振る舞いを十分に表すことができない場合があります。なぜなら、初期条件によっては変位と速度の両方の条件を満たすために、sin(ωt)とcos(ωt)の両方を含んだ形でなければならないからです。

例えば、初期位置や初期速度が与えられている場合、変位x(t)をsin(ωt)またはcos(ωt)だけで表すと、もう片方の条件を満たすことができません。そのため、一般的な解としてBsin(ωt) + Ccos(ωt)を使う必要があります。

単振動の一般解Bsin(ωt) + Ccos(ωt)では、BとCは初期条件に基づいて決定されます。例えば、初期位置x(0)と初期速度v(0)が与えられると、以下のようにBとCを求めることができます。

x(0) = Bsin(0) + Ccos(0) = C

v(0) = ωBcos(0) – ωCsin(0) = ωB

これらの式を解くことで、初期条件に適したBとCを求め、変位x(t)を完全に特定できます。

単振動の変位xの一般解はBsin(ωt) + Ccos(ωt)という形になります。この形は初期条件を満たすために必要なもので、Asin(ωt)では不十分な場合があります。解法においては、初期位置と初期速度に基づいてBとCを決定することが重要です。