三角関数の式変形は数学でよく出てくる問題ですが、その方法や考え方を理解することは非常に重要です。この記事では、以下の2つの三角関数の式変形について、具体的なステップと考え方を解説します。
式①： (sin²θ + cos²θ)(sin²θ – cos²θ) = sin²θ – cos²θ
まず、最初の式を見てみましょう。この式では、(sin²θ + cos²θ)という項が現れています。三角関数の基本的な恒等式である「sin²θ + cos²θ = 1」を使用することで、簡単に式を変形できます。
具体的に式を展開すると、次のようになります。
- (sin²θ + cos²θ)(sin²θ – cos²θ) = 1 × (sin²θ – cos²θ) = sin²θ – cos²θ
したがって、この式はそのまま「sin²θ – cos²θ」と等しいことがわかります。
式②： tan²θ – tan²θsin²θ – sin²θ = tan²θ(1 – sin²θ) – sin²θ
次に、もう一つの式に進みます。この式は少し複雑に見えますが、適切な変形を行うことで簡単に整理できます。
まず、左辺を「tan²θ – tan²θsin²θ – sin²θ」と分解して考えます。ここで、tan²θを共通因子として取り出すことができます。
- tan²θ – tan²θsin²θ – sin²θ = tan²θ(1 – sin²θ) – sin²θ
これで、式の変形が完了しました。右辺の「tan²θ(1 – sin²θ)」という形にまとめられることがわかります。
変形の考え方
これらの式を変形する際に重要なのは、三角関数の基本的な恒等式や、共通因子を取り出す技術です。特に「sin²θ + cos²θ = 1」などの恒等式を適切に活用することが、変形を簡単にするためのカギとなります。
また、式の左辺に現れる項をよく観察して、同じ形の項をまとめたり、共通因子を取り出したりすることが、効率的な解法へと繋がります。
まとめ：三角関数の式変形のポイント
三角関数の式変形は、基本的な恒等式を理解し、それを適切に使うことが肝心です。今回のような式の変形では、恒等式を活用して簡単に整理できることが多いです。式の左辺を展開したり、共通因子を取り出したりすることで、より簡潔な形にすることができます。
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