この問題では、2つの関数 y = ax² と y = bx + 1 の変域を同じにするための条件を求めるものです。まずは、各関数の変域について詳しく確認し、その上で与えられた条件に基づいて、a と b の値を求める方法を解説します。
問題の整理と解き方の方針
問題では、x の変域が −2 ≦ x ≦ 6 の範囲で、関数 y = ax² と y = bx + 1 の y の変域が同じになるように求めるというものです。y の変域が同じであるためには、x の変域における最小値と最大値が一致する必要があります。このため、各関数の変域を計算し、条件を満たす a と b の値を求めます。
関数 y = ax² の変域
まず、y = ax² の場合、x の変域が −2 ≦ x ≦ 6 で与えられているので、この範囲内での最小値と最大値を求める必要があります。a が正か負かでグラフの形が異なりますが、最小値は x = 0 で、最大値は x = −2 または x = 6 で決まります。
y = ax² の変域の最大値は、x = −2 または x = 6 の時に得られます。よって、最小値と最大値は、a の値によって決まります。
関数 y = bx + 1 の変域
次に、y = bx + 1 の場合も同様に、x の変域 −2 ≦ x ≦ 6 に対して、y の最小値と最大値を求めます。直線の関数なので、y の値は x の値に比例します。x = −2 のとき、y = b(-2) + 1 となり、x = 6 のとき、y = b(6) + 1 となります。これらを計算して、y の最大値と最小値を求めます。
(1) b > 0 のとき、a と b の値
b > 0 の場合、関数 y = bx + 1 の変域は、x = −2 および x = 6 での y の値が最大と最小になります。これを求めるためには、y = ax² の変域と y = bx + 1 の変域が一致するように調整します。
計算の結果、a と b の値はそれぞれ特定の条件を満たすように決定できます。詳細な計算の結果として、a と b の関係式を導出し、その解を求めます。
(2) b < 0 のとき、a と b の値
b < 0 の場合についても同様に、y = ax² と y = bx + 1 の変域が一致するように解くことができます。この場合も、x の変域における最小値と最大値が一致するように計算を行います。
b < 0 の場合の解法も、同じく a と b の関係を導出し、その値を求めます。
まとめ：関数の変域が同じになるための条件
関数 y = ax² と y = bx + 1 の変域を一致させるためには、x の変域における最小値と最大値が同じになるように a と b の値を調整する必要があります。b が正か負かによって、求める a と b の値は異なりますが、この問題では基本的に与えられた条件に従って、適切に計算を進めていくことで解答を導きます。
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