今回の問題は、ベクトルの合成を行い、ベクトルcの長さが与えられたときに、tの値を求める問題です。ベクトルa = (3, 1) とベクトルb = (1, 2) が与えられており、ベクトルc = ベクトルa + t × ベクトルb と表されます。ベクトルcの長さが√15のとき、tの値を求める方法を見ていきましょう。
1. ベクトルcの式を立てる
まず、ベクトルcはベクトルaとベクトルbを組み合わせたものです。ベクトルc = (3, 1) + t × (1, 2) と書けます。ここで、tはスカラーです。ベクトルcは次のように成ります。
c = (3 + t, 1 + 2t)
2. ベクトルcの長さを求める
ベクトルcの長さは、cの成分の二乗和の平方根で求められます。cの長さ |c| は次の式で表されます。
|c| = √((3 + t)² + (1 + 2t)²)
3. 長さの条件を使ってtを求める
問題では、ベクトルcの長さが√15であると与えられています。つまり、次の式が成り立ちます。
√((3 + t)² + (1 + 2t)²) = √15
両辺を二乗すると、次の式が得られます。
(3 + t)² + (1 + 2t)² = 15
4. 式を解く
式を展開して整理します。
(9 + 6t + t²) + (1 + 4t + 4t²) = 15
10 + 10t + 5t² = 15
5t² + 10t – 5 = 0
この二次方程式を解くために、まずは両辺を5で割ります。
t² + 2t – 1 = 0
5. tの値を求める
この二次方程式を解くために、解の公式を使います。解の公式は次のように与えられます。
t = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
ここで、a = 1, b = 2, c = -1 です。これを解くと。
t = (-2 ± √(2² – 4 × 1 × -1)) / 2 × 1
t = (-2 ± √(4 + 4)) / 2
t = (-2 ± √8) / 2
t = (-2 ± 2√2) / 2
t = -1 ± √2
6. 結果
したがって、tの値は次の2つの解を持ちます。
t = -1 + √2 または t = -1 – √2
このようにして、ベクトルcの長さが√15であるときのtの値を求めることができました。
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