リプシッツ関数と一様連続性：リプシッツ関数が一様連続であることの証明とその関係

リプシッツ関数が一様連続であることの証明について、そしてリプシッツ関数→絶対連続→一様連続という関係が成り立つかについて、具体的に解説します。

1. リプシッツ関数の定義

リプシッツ関数とは、実数値の関数f(x)が以下の条件を満たすときにリプシッツ連続であると言います：ある定数L>0が存在して、任意のx, yに対して、|f(x) – f(y)| ≤ L|x – y|が成り立つ。

リプシッツ関数が一様連続であることを証明するには、リプシッツ条件を満たすことで、任意のε>0に対して、δを選べることを示す必要があります。具体的には、|x – y| < δならば、|f(x) - f(y)| < εが成り立つことを証明します。

リプシッツ関数は絶対連続であることが知られており、絶対連続な関数は必ず一様連続です。しかし、逆は必ずしも成り立ちません。すなわち、すべての一様連続関数が絶対連続であるわけではありません。

リプシッツ関数は、その定義により、任意のε>0に対して、δをL=εのように選ぶことができ、|f(x) – f(y)|が制御されるため、一様連続であると言えます。

リプシッツ関数は一様連続であることが証明されており、また絶対連続であれば一様連続であるという関係も理解できました。リプシッツ条件を満たす関数は、必ず一様連続であることを知ることができます。