微積分におけるリミットと微分の関係について、式変形をしても問題ないのかを質問された内容に基づき、詳しく解説します。質問者は、lim[x->2] {f(x)-f(2)}/{x-2} = lim[x->2] f'(x) という式変形が問題ないか疑問に思っています。まず、この式変形が成り立つ理由を理解することが重要です。
リミットと微分の基礎
微分の定義は、関数f(x)において、点aにおける接線の傾きを求めるものです。具体的には、次の式で表されます。
f'(a) = lim[x->a] {f(x) – f(a)} / (x – a)
式変形の正当性
質問者の式変形「lim[x->2] {f(x)-f(2)}/{x-2} = lim[x->2] f'(x)」についてですが、実はこの式変形は全く問題ありません。なぜなら、微分の定義そのものであるためです。実際、この式変形は微分の定義を式にしたものであり、成立することが確立されています。
つまり、リミットの中で関数f(x)がx = 2の近くでどのように振る舞うかを求めると、それはf'(x)に一致します。これは微分の定義そのままですので、式変形としては正しいです。
微分とリミットの重要な関係
微分は本質的にリミット操作です。微分の定義におけるリミットは、関数の変化を極限で見る操作であり、実際に計算を行う際にリミットを使って変化の割合を求めます。そのため、式変形を行う際にリミットの操作を行っても、理論的に矛盾は生じません。
実際にリミットと微分を使った例
例えば、関数f(x) = x^2の微分を求めるとき、次のようなリミットの計算が行われます。
f'(x) = lim[h->0] {f(x + h) – f(x)} / h = lim[h->0] {(x + h)^2 – x^2} / h = lim[h->0] {2xh + h^2} / h = 2x
まとめ
リミットと微分は密接に関連しており、リミットを使って微分を計算することができます。質問者の疑問である式変形「lim[x->2] {f(x)-f(2)}/{x-2} = lim[x->2] f'(x)」については、微分の定義に基づく正しい式変形であり、問題なく成立します。
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