x^3 – 3x^2 + 7x – 1 = 0 の異なる実数解の個数を求める方法

多項式方程式の実数解の個数を求める方法は、関数のグラフや微分を使って解析することが一般的です。この記事では、方程式 x^3 – 3x^2 + 7x – 1 = 0 の異なる実数解の個数を求める方法を解説します。

方程式の基本的な性質

与えられた方程式は3次方程式で、xの3乗項、2乗項、1乗項、定数項から構成されています。このタイプの方程式は、解が最大で3つ存在する可能性がありますが、異なる実数解の個数を求めるためには、関数のグラフや微分を使って分析する必要があります。

解の個数を求めるための手順

解の個数を求めるための基本的な方法は、関数のグラフの形状を理解することです。最初に関数 f(x) = x^3 – 3x^2 + 7x – 1 の導関数を求め、その増減を調べることで解の個数を把握できます。

関数 f(x) の導関数は、次のように計算できます：
f'(x) = 3x^2 – 6x + 7

導関数から解の個数を予測する

導関数 f'(x) = 3x^2 – 6x + 7 を解くことで、f(x) の増減が分かります。f'(x) = 0 となる x の値を求めることで、関数 f(x) の増加・減少を判断できます。解の個数は、f'(x) の符号が変わる点、つまり増減の切り替え点を確認することでわかります。

この方程式の判別式を計算すると、実際には実数解がないことがわかります。したがって、この3次方程式の解は、実数解としては1つのみ存在します。

まとめ

与えられた方程式 x^3 – 3x^2 + 7x – 1 = 0 の異なる実数解の個数を求めるためには、導関数を使って関数の増減を調べる方法が有効です。この方法を用いると、この方程式には1つの実数解が存在することがわかります。