数学Iの集合と命題：a(b-1)=b(a-1)=0が成り立つための必要条件について

数学Iの問題で、「a(b-1)=b(a-1)=0が成り立つための必要条件」を求める問題に関して、なぜ②「a+b=0」が答えではなく、①「a=b」が正しいのかについて、詳しく解説します。

問題の確認

問題文は、式(a(b-1)=b(a-1)=0)が成り立つための条件を求めるものです。選択肢には、①a=b、②a+b=0、③a-b=1があり、答えは①a=bだとされています。この式が成り立つための条件を考える前に、まずは式を展開してみましょう。

まず、式(a(b-1)=b(a-1)=0)を展開して整理します。

式1からa=0またはb=1、式2からb=0またはa=1という関係が得られます。この式から、aとbの関係が見えてきます。

選択肢①「a=b」は、この式を満たす条件として最も自然な関係です。なぜなら、aとbが等しい場合、両方の式が同時に成り立つからです。

選択肢②「a+b=0」は、一見すると成り立ちそうに思えるかもしれません。しかし、この条件を満たすと、aとbが必ずしも等しくなるわけではありません。例えば、a=1、b=-1の場合でもa+b=0は成り立ちますが、元の式(a(b-1)=b(a-1)=0)を満たさないため、この選択肢は誤りです。

問題の答えは①a=bです。式を展開して得られる条件に基づいて、aとbが等しい場合のみ元の式が成り立つことがわかります。選択肢②「a+b=0」は一部のケースでは成り立ちますが、元の式を満たさないため正しい答えではありません。