不定積分 ∫x√(1-x)dx の解法：置換積分のステップバイステップ解説

不定積分 ∫x√(1-x)dx は、置換積分を使って解くことができます。置換積分は、複雑な積分をより簡単に解くための強力な手法です。この積分の解き方を、具体的な手順でわかりやすく解説します。

置換積分の基本的な考え方

置換積分は、積分の中に含まれている複雑な式を簡単な式に置き換える方法です。これにより、積分の計算が容易になります。基本的なステップは、まず式の中の一部を新しい変数で置き換え、その後で積分を行います。

今回の積分 ∫x√(1-x)dx においても、適切な置換を行うことで解くことができます。

この積分では、まず次のように置換を行います。

u = 1 – x

これにより、du/dx = -1 となり、dx = -du になります。この置換を行うことで、積分式が単純化されます。

次に、x の代わりに u を使って積分式を書き換えます。x = 1 – u となるため、積分式は次のようになります。

∫x√(1-x)dx = ∫(1 – u)√u(-du)

これにより、積分が簡単になり、次のように整理できます。

-∫(1 – u)√u du

今度は積分を計算します。積分式は次のように展開できます。

-∫(√u – u√u) du

それぞれの項について積分を行います。

-∫√u du + ∫u√u du

これらの積分は、標準的な積分方法を使って解くことができます。

これらの積分を元の式に戻して計算すると、最終的な結果は次のようになります。

-(2/3)u^(3/2) + (2/5)u^(5/2) + C

ここで、u = 1 – x を元に戻すと、最終的な解は次の通りです。

-(2/3)(1-x)^(3/2) + (2/5)(1-x)^(5/2) + C

不定積分 ∫x√(1-x)dx は、置換積分を使うことで解くことができます。最初に適切な変数の置き換えを行い、その後積分を計算することで簡単に解くことができます。置換積分は積分の計算を効率よく行うための有力な方法ですので、ぜひ実践してみてください。