不等式の加法について：a ≥ b と c ≥ d から a + c ≥ b + d が成り立つか？

不等式の加法に関する質問です。「a ≥ b」および「c ≥ d」が成り立つとき、a + c ≥ b + dが常に成り立つのかについて考察します。これは数学の基本的な不等式の性質に関連する問題です。この記事では、その理由と詳細な解説を行います。

1. 不等式の加法の基本的な性質
2. 不等式の加法性の証明
3. 例外の可能性はあるか？
4. 結論と注意点
まとめ

1. 不等式の加法の基本的な性質

不等式の基本的な性質の一つは、「同じ量を加えても不等式が成立する」というものです。つまり、もしa ≥ bおよびc ≥ dが成り立つならば、a + c ≥ b + dも成り立ちます。これは、不等式の加法性と呼ばれ、一般的な数学の法則として広く認識されています。

例えば、a = 5, b = 3, c = 8, d = 4のとき、a ≥ bおよびc ≥ dが成り立っています。このとき、a + c = 5 + 8 = 13, b + d = 3 + 4 = 7 となり、a + c ≥ b + d が成り立ちます。

2. 不等式の加法性の証明

証明として、a ≥ bおよびc ≥ dが与えられていると仮定します。このとき、a – b ≥ 0およびc – d ≥ 0が成り立ちます。両辺にcとdを加えると、次のようになります。

a + c - b - d ≥ 0

この式を整理すると、a + c ≥ b + d という不等式が得られます。これにより、a + c ≥ b + dが必ず成り立つことが証明されます。

3. 例外の可能性はあるか？

不等式の加法性に関しては、特に「a ≥ b」と「c ≥ d」の条件が成立していれば、加法しても不等式は変わりません。しかし、もし不等式の方向が逆であった場合（例えばa < bやc < dの場合）、加算後の不等式が成り立たない場合もあります。

例えば、a = 2, b = 3, c = 1, d = 2の場合、a < bおよびc < dとなりますが、a + c = 2 + 1 = 3, b + d = 3 + 2 = 5 となり、a + c < b + dになります。これは不等式の方向が逆であったためです。

4. 結論と注意点

「a ≥ b および c ≥ d が成り立つ場合、a + c ≥ b + d も必ず成り立つ」というのは正しい数学的な法則です。この法則を理解することで、より複雑な不等式の問題にも対応できるようになります。ただし、逆向きの不等式の場合は、加算後に不等式の方向が変わることがあるため、その点に注意する必要があります。