三角関数の最大値、最小値の求め方とその違いについて

三角関数の問題で、最大値や最小値を求める際に、解答方法に違いが生じることがあります。特に、問題ごとに求めるべき値やアプローチが異なることがあります。この記事では、2つの三角関数の問題を通して、その解法と考え方の違いについて解説します。

1. 最大値、最小値の求め方とそのアプローチ

三角関数の最大値や最小値を求めるためには、まず関数を理解し、適切な範囲内での最適な値を求めます。これには、微分を用いて関数の極値を求める方法や、周期性を活用した方法が一般的です。

問題(1)のように、式が与えられている場合、関数の形状を分析して、どのように最大値や最小値が現れるのかを理解する必要があります。例えば、y = -cos²(θ) – 2sin(θ) – 1のような関数では、cosやsinを使った三角関数の変化を利用して、範囲内での極値を求めます。

2. (1)の解法：θの値を求める理由

問題(1)では、0 ≤ θ < 2πの範囲で最大値と最小値を求める際、θの具体的な値を求めることが重要です。これは、関数がどの位置で極値を取るかを正確に把握するためです。具体的に、関数を微分し、導関数をゼロにすることで、最大値や最小値がどのθの位置で発生するかを明確にします。

3. (2)の解法：θの値を求めない理由

問題(2)では、関数y = 2cos(θ) – a sin²(θ)（a < 0）の最小値を求めることが求められています。この場合、θの具体的な値を求める必要がない理由は、関数の最大値または最小値がθに依存するのではなく、関数の構造や定数aによって決まるからです。特に、a < 0の場合、関数の最小値はθの範囲で固定されるため、最大値または最小値を求める際に、θを求めなくても問題は解けます。

4. θを求める必要がない場合の特徴

θを求めない場合は、関数の形や定数の影響によって、最大値や最小値が明確に決まるケースです。このような場合、解答は解析的に最小値や最大値を計算することで完了します。例えば、(2)の問題のように、a < 0という条件が与えられている場合、関数の挙動が決まるため、具体的なθの値を求める必要がありません。

まとめ

三角関数の最大値や最小値を求める問題において、θの値を求めるかどうかは、問題の構造によって異なります。問題(1)ではθの値を求めて解答を導きますが、問題(2)ではθの値を求める必要がなく、関数の特性と定数aを利用して最小値を求めます。これらのアプローチの違いを理解することで、三角関数の問題に対する解法を柔軟に対応できるようになります。