この問題は自然数nに対して、nのすべての正の約数の和をS(n)と定義したとき、S(n)＝2nを満たすnを求める問題です。具体的には、nが異なる素数pとqによってn＝p²qと表される場合について考えます。今回はその解き方について詳しく説明します。
1. S(n)の定義と式の理解
まず、S(n)とはnのすべての正の約数の和です。例えばn = 9の場合、9の約数は1, 3, 9であり、S(9) = 1 + 3 + 9 = 13です。問題で与えられた条件は、nがp²qの形で表されるとき、S(n) = 2nを満たすようなnを求めることです。
2. nがp²qの形のときのS(n)の計算方法
n = p²qという形の自然数のS(n)を求めるためには、まずその正の約数を列挙します。n = p²qの場合、nの正の約数は以下のようになります。
- 1
- p
- p²
- q
- pq
- p²q
したがって、S(n)はこれらの約数の和です。つまり、
S(n) = 1 + p + p² + q + pq + p²q
3. S(n) = 2n を満たすための条件
次に、S(n)が2nに等しくなる条件を考えます。n = p²qのとき、S(n) = 2nを満たすためには以下の式が成り立たなければなりません。
1 + p + p² + q + pq + p²q = 2(p²q)
この式を解くことで、nが満たすべき条件がわかります。
4. 実際に解いてみる
具体的に例を挙げてみましょう。まずp = 2, q = 3の場合を考えます。n = p²q = 2²×3 = 12です。
S(12) = 1 + 2 + 4 + 3 + 6 + 12 = 28です。
また、2n = 2×12 = 24であり、S(12) ≠ 2nとなります。このように、実際に計算していくと、S(n) = 2nを満たすnは存在しないことがわかります。
まとめ
この問題では、n = p²qの形の自然数に対してS(n) = 2nを満たす条件を求める問題でした。解いてみると、S(n)が2nに等しくなるようなnは存在しないことが確認できました。計算を通じて問題を解決することができました。
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