二次不等式の解き方とX軸との共有点の判別方法

高校1年生の数Aにおける二次不等式の解法について、X軸との共有点を持たない場合にどのように判別するのか、わかりやすく解説します。

二次不等式の基本的な解法

二次不等式を解く際、まずは不等式を「標準形」にすることが大切です。標準形とは、右辺が0になっている状態で、左辺に二次式が含まれる形です。例えば、ax² + bx + c < 0という形です。

この形にしてから、因数分解を行ったり、解の公式を使って解くことが一般的です。例えば、x² – 5x + 6 < 0 の場合、因数分解をして (x - 2)(x - 3) < 0 とします。これにより、不等式の解が求められます。

X軸との共有点を持たない場合の判断

二次関数がX軸との共有点を持つかどうかは、判別式（Δ）を使って判断することができます。判別式は次のように計算されます。

Δ = b² – 4ac

判別式が正の値なら、グラフはX軸と2点で交わります。Δが0なら、グラフはX軸と1点で交わります（接する）。そして、Δが負の値の場合、グラフはX軸と交わらないことになります。この場合、X軸との共有点が存在しないということです。

X軸との共有点がない場合の解き方

もしも判別式が負の場合、つまりX軸と交わらない場合、解の範囲は空集合になることが多いです。例えば、x² + 2x + 5 > 0のような場合、判別式を計算すると、Δ = 2² – 4(1)(5) = 4 – 20 = -16となり、負の値となります。この場合、グラフはX軸と交わらないため、解は実数解を持たないことがわかります。

因数分解や解の公式を使った場合の違い

因数分解や解の公式を使うことで、二次不等式の解を求めることができますが、共有点がない場合には計算結果が解の範囲が存在しないことを示します。これにより、解が空集合であることがわかります。

例えば、x² + 2x + 5 = 0のような場合、解の公式を使うとx = (-2 ± √(2² – 4(1)(5))) / 2となり、判別式が負のため解は実数解を持たないことがわかります。

まとめ

二次不等式の解法では、まず不等式を標準形に変換し、因数分解や解の公式を使って解を求めます。判別式を使うことで、X軸との共有点があるかどうかを簡単に確認でき、共有点がない場合には解が存在しないことがわかります。これを理解すれば、二次不等式を解くときに正確に判断できるようになります。