0 < a² + b² < 1 ⇒ −1 < a < 1 の証明方法 - 数学的証明の解説

本記事では、0 < a² + b² < 1 から −1 < a < 1 を証明する方法について解説します。この証明を通じて、数学的な論理展開を学ぶことができます。

1. 与えられた式の理解

まず、問題文にある式 0 < a² + b² < 1 を理解します。これは、a と b のそれぞれの二乗を足し合わせたものが1未満であるという条件を示しています。ここで、a² + b²は常に0以上であり、aとbが実数である限り、この式は常に成立します。

次に、この条件から −1 < a < 1 を導くために、aの範囲を考えます。

a² + b² < 1 が成り立つ場合、a²は0以上1未満でなければなりません。したがって、aの範囲は -1 < a < 1 に限定されます。なぜなら、もしaが-1未満または1を超えると、a²は1以上となり、a² + b² < 1という条件に反してしまうからです。

ここで重要なのは、aの値が1を超えないことです。もしaが1を超えれば、a²が1を超えてしまい、式が成立しなくなります。

0 < a² + b² < 1 という条件をもとに、a² + b² の合計が1未満であるため、aの範囲も-1 < a < 1に絞られます。これを証明するために、次のように考えます。

まず、a²とb²はそれぞれ0以上であり、a² + b² < 1 の条件から、a² < 1となります。したがって、aは-1 < a < 1 の範囲に収束することが分かります。

以上のように、0 < a² + b² < 1 から、aの範囲は -1 < a < 1 に決まることが証明できました。この証明を通じて、二乗の合計が1未満であれば、各変数の範囲をどのように導くかを理解できたかと思います。

本記事では、0 < a² + b² < 1 から −1 < a < 1 の証明方法を解説しました。このような数学的証明では、条件を慎重に扱い、適切な範囲を設定することが重要です。理解を深めるために、他の類似問題にも挑戦してみてください。