三次関数の極大値と極小値を求める方法

三次関数が極大値と極小値を持つ条件について、f'(x) = 0 という条件を使った判別式の解析方法を解説します。問題の締めくくり方として、判別式の結果から得られる情報を基に、関数の特性を確認する方法を紹介します。

1. 三次関数の微分と判別式

三次関数 f(x) が極大値と極小値を一つずつ持つためには、まずその微分を求めて f'(x) = 0 となる点を調べる必要があります。このような点では、関数が増加から減少、またはその逆に変化します。判別式が0より大きいということは、2つの実数解が存在し、異なる符号を持つことを意味します。これにより、関数が一度増加し、次に減少する、またはその逆の挙動を示します。

2. 判別式が0より大きい場合の解釈

判別式が0より大きい場合、f'(x) = 0 の解は2つ存在し、その解における関数の挙動が極大値と極小値に対応します。このとき、各解における f”(x) の符号を調べることが重要です。f”(x) が正であればその点は極小値、負であれば極大値となります。

3. 極大値と極小値を求める手順

まず f'(x) = 0 の解を求め、次にそれぞれの解に対して f”(x) の符号を確認します。符号によって極大値または極小値を判断し、関数の振る舞いを明確にします。このようにして、三次関数がどのように極大値と極小値を持つかが判定できます。

4. 結論とまとめ

この問題の締めくくりとして、判別式の結果を基に、関数が極大値と極小値をどのように持つかを確認しました。微分と判別式を利用することで、関数の性質を明確にし、極値を求める方法が理解できました。