高校数学：接線を求める方法と判別式の使い方について

この記事では、2つの曲線 y = x^3 – 2x + 1 と y = x^2 + 2ax + 1 が接するとき、定数 a の値を求める方法と、その接点における共通の接線の方程式を求める方法を解説します。また、判別式を使って a を求めることがなぜ適切でないのかについても説明します。

問題の設定

与えられた2つの曲線は、y = x^3 – 2x + 1 と y = x^2 + 2ax + 1 です。これらの曲線が接するという条件において、接点での共通の接線の方程式を求める問題です。接するとは、2つの曲線が1点で交わり、その交点での接線が共通であることを意味します。

2つの曲線が接するためには、次の2つの条件を満たさなければなりません。

ここで、f(x) = x^3 – 2x + 1 および g(x) = x^2 + 2ax + 1 とします。これらの関数を用いて、交点と接線を求めていきます。

まず、f(p) = g(p) を使って交点を求めます。すなわち、x^3 – 2x + 1 = x^2 + 2ax + 1 の式を解きます。簡単に整理すると、x^3 – x^2 – 2x – 2ax = 0 となります。この式を解くことで、接点 p を求めます。

次に、接線の条件 f'(p) = g'(p) を使います。f'(x) = 3x^2 – 2、g'(x) = 2x + 2a です。これらを p で等しくすることで、a の値を求めることができます。

判別式を使って a を求める方法は適切ではありません。判別式は、二次方程式の解の有無を確認するために使用されますが、今回の問題は単なる代数的な方程式を解く問題です。判別式を使ってしまうと、必要のない情報を得ることになり、解の過程が複雑になります。

代わりに、f(p) = g(p) と f'(p) = g'(p) の条件をそのまま使って解く方が確実であり、無駄な手順を省けます。

接点が分かれば、その接点における接線の方程式を求めることができます。接線の方程式は、点と傾きが分かれば求めることができ、ここでは接点 p における f'(p) や g'(p) の傾きを使います。

接線の方程式は、y – y1 = m(x – x1) の形で求めることができます。ここで、(x1, y1) は接点、m は接線の傾きです。接線の傾き m は、f'(p) または g'(p) で求めることができます。

高校数学の問題において、2つの曲線が接する条件は、交点が存在し、接線が共通であることです。これを解くためには、f(p) = g(p) と f'(p) = g'(p) の2つの条件を使うことが重要です。また、判別式はこの問題には適しておらず、代数的な方法で解く方が効率的です。