数学の問題解法：120Nが整数の二乗になる自然数Nの最小値を求める方法

今回は、数学の問題「120Nの値が整数の二乗となるような自然数Nのうち最も小さい数を求めなさい」の解法を説明します。この問題を解くためには、整数の二乗の特性を理解し、適切な数式操作を行う必要があります。

1. 問題の理解と式の設定

問題は「120Nの値が整数の二乗になる自然数N」を求めるものです。まず、120Nが整数の二乗であるためには、Nがどのような条件を満たす必要があるかを考えます。

式としては、120N = x²（xは整数）と置けます。ここで、Nが最小の自然数である必要があるので、x²を最小にするNを求めます。

次に、120の因数を考えます。120 = 2³ × 3 × 5です。この因数分解を使って、Nの値がどのように決まるかを考察します。120Nが完全な平方数になるためには、各素因数の指数が偶数でなければなりません。

したがって、2³の部分を偶数にするためには、Nの中に2¹を掛ける必要があります。また、3と5の部分についても、それぞれNに3¹と5¹を掛けることで、それぞれの指数が偶数になります。

したがって、N = 2 × 3 × 5 = 30 です。この値を使って、120Nが整数の二乗になることを確認しましょう。

120 × 30 = 3600 で、3600は60²となり、確かに整数の二乗です。よって、最小のNは30であることがわかります。

この問題の解法は、整数の二乗になるために必要な条件を因数分解と指数の観点から考えることでした。最小の自然数Nは30であり、これを使うことで120Nが整数の二乗となることが確認できました。

数学の問題を解く際は、与えられた式を因数分解し、条件を満たすように適切に操作することが重要です。この問題もその一例です。