1=0.999… の証明と循環小数における疑問点の解説

「1=0.999…」という等式の証明は、数学的に非常に面白い問題であり、循環小数に関する理解を深めるために重要です。しかし、質問のようにその証明方法や過程に対して疑問を持つ人も多いです。本記事では、なぜ循環小数で「1=0.999…」が成立するのか、そしてその証明過程について詳しく解説します。

1. 1=0.999… の証明

「1=0.999…」という等式は、循環小数の考え方に基づいています。簡単に説明すると、0.999… は無限に続く9が並ぶ数であり、その値は実際には1に非常に近い数です。これを証明するために、以下のような方法を使います。

2. 証明の過程

まず、x = 0.999… と置きます。このとき、10x = 9.999… となり、元の式から引き算を行うことで、10x – x = 9.999… – 0.999… となり、9x = 9 になります。これを解くと、x = 1 となり、つまり0.999… = 1 であることが分かります。

3. なぜ「1/3x = 0.3333…」を使った証明方法ではいけないのか

質問者のように、1/3x = 0.3333… を使って証明しようとする方法は誤りです。0.3333… と 1/3 は確かに同じ値ですが、循環小数の特性を扱う際には、それが無限に続くことを十分に理解した上で計算しなければなりません。直接的な引き算を使用した証明方法のほうが、循環小数の性質を正確に反映しています。

4. まとめ

循環小数「0.999…」と「1」の等式は、無限小数の概念を正しく理解することで納得できます。質問のように、循環小数の取り扱いに関する誤解は多いため、しっかりとした証明過程を踏まえることが重要です。