−1 < a^2 < 1 ⇒ −1 < a < 1 の証明方法

この問題では、与えられた不等式「−1 < a^2 < 1」から、「−1 < a < 1」を導く証明方法を解説します。まずは問題の背景を理解し、論理的なステップで証明を進めていきましょう。

1. 問題の理解と基本的なアプローチ

まず、与えられた不等式「−1 < a^2 < 1」を見てみましょう。この不等式はaの2乗（a^2）が−1と1の間にあるという意味です。a^2が負の値になることはないので、実数の範囲内では、a^2が0以上で1未満であるという条件になります。

つまり、「−1 < a^2 < 1」はaが-1と1の間の実数であることを示唆しています。次に、この条件から「−1 < a < 1」を導く方法を解説します。

2. a^2 の性質を考える

a^2が−1より大きく、1より小さいという条件が与えられています。a^2が負の値にはならないことを考えると、次のように整理できます。

−1 < a^2 < 1

まず、a^2が負でないため、aは0以上または0未満の数であると分かります。そして、a^2 < 1となる条件から、aは−1以上1未満の範囲にあることがわかります。

3. 絶対値を使って証明する方法

次に、絶対値を使ってより厳密に証明を進めます。

「a^2 < 1」の条件から、|a| < 1となります。したがって、aの値は−1 < a < 1の範囲に収束します。これは数学的に、a^2が1より小さいならば、aの絶対値も1未満であるため、−1 < a < 1という結論が導けるということです。

4. まとめ

以上のように、与えられた不等式「−1 < a^2 < 1」から、「−1 < a < 1」を導く証明方法について解説しました。証明のポイントは、a^2の範囲が−1と1の間にあることを認識し、絶対値を使ってaの範囲を求める方法にあります。このような論理的なステップを踏むことで、数学の不等式の証明はより明確に理解できるようになります。