外接する2円の共通外接線の方程式の求め方

2つの円が外接しているとき、それらの円に共通する外接線を求める方法について解説します。この問題は、幾何学的な視点から、2円の位置関係を利用して共通外接線の方程式を導くものです。この記事では、具体的な手順を示しながら、共通外接線の方程式を求める方法を解説します。

共通外接線とは？

共通外接線とは、2つの円が外側で接する線のことです。円の接点を通らず、円同士が外側で接するように直線が引かれます。2つの円が異なる大きさであっても、必ず共通の外接線が2本存在し、それぞれ円の外側で接する形になります。

この共通外接線を求めるには、2つの円の中心位置と半径を利用し、直線の方程式を求める必要があります。

2つの円の方程式を一般的に次のように表します。

ここで、$(x_1, y_1)$は円1の中心、$r_1$は円1の半径、$(x_2, y_2)$は円2の中心、$r_2$は円2の半径です。この情報をもとに、共通外接線の方程式を求めます。

共通外接線の方程式を求める方法の1つは、円1と円2の接線の傾きを利用する方法です。まず、2つの円の中心の位置関係を考え、接線の角度を計算します。

1. まず、2つの円の中心$(x_1, y_1)$と$(x_2, y_2)$を結ぶ直線の傾きを求めます。傾き$k$は次の式で計算できます：
$k = rac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1}$

2. 次に、接線の傾きを求めます。この傾きは、接線が円の半径と直交することを考慮して計算されます。接線の傾き$m$は、次の式で求められます：
$m = -rac{x_2 – x_1}{y_2 – y_1}$

3. 最後に、接線の方程式を求めるために、円の半径と中心からの距離を考慮して、具体的な式を導きます。

例えば、円1の方程式が$(x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 4$、円2の方程式が$(x – 6)^2 + (y – 3)^2 = 9$の場合、まず円1と円2の中心を結ぶ直線の傾きを求めます。

円1の中心は$(2, 3)$、円2の中心は$(6, 3)$です。この2点を結ぶ直線の傾きは$k = rac{3 – 3}{6 – 2} = 0$となります。次に、接線の傾き$m$を求め、共通外接線の方程式を導きます。

外接する2円の共通外接線を求めるには、まず円の中心と半径の情報をもとに、接線の傾きを計算し、その後共通外接線の方程式を導きます。手順を追って計算することで、共通外接線の方程式を正確に求めることができます。円の位置関係や半径によって異なるため、具体的な問題に応じた計算が必要です。