この記事では、複素積分を使用して積分∫[0,π] xsinx/(1 + a² – 2acosx) dx (a > 0) を求める方法を解説します。複素積分は、実数の積分を複素平面で評価する強力なツールであり、特にルジャンドル多項式やコーシーの積分定理に基づく技法でよく利用されます。
問題の設定
与えられた積分は、次のような形をしています。
∫[0,π] xsinx / (1 + a² – 2acosx) dx
ここで、aは正の定数です。まず、この積分を複素積分を使って解く手順を見ていきます。
積分の変換
この積分の解法には、複素数を使って積分の計算を簡略化する方法を取ります。まず、積分の中の三角関数部分、特にcosxに対して複素指数関数を使用します。cosxは、次のように複素指数関数で表せます。
cosx = (e^(ix) + e^(-ix)) / 2
これにより、積分の式を複素数で扱いやすい形に変換できます。
複素積分の適用
次に、この変換を利用して積分を複素積分の枠組みに適用します。具体的には、適切な閉曲線を選び、コーシーの積分定理を使って積分の結果を求めます。
この手法では、積分を複素関数の特異点（ポール）を中心に評価することになります。関数の特異点を調べ、閉曲線に沿った積分を計算することで、求める積分値を導きます。
積分結果の解釈
最終的に、複素積分を用いて得られる解は、実部および虚部に分解され、元の実数積分の解が得られます。積分の計算結果は、積分範囲[0, π]における実数解となり、aの値に依存した結果が得られます。
この方法は、三角関数を含む複雑な積分に対して非常に有効であり、特に解析的な解法では解きづらい場合に役立ちます。
まとめ
複素積分を用いることで、積分∫[0,π] xsinx / (1 + a² – 2acosx) dxの計算が可能となります。複素平面を利用したこの方法は、実数積分の計算を簡略化し、効率的に解を導くことができます。複素積分の手法を習得することで、さらに高度な解析問題にも対応できるようになります。
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