積分∫[0,∞]x²/(x⁴+6x²+13)dxを複素積分で求める方法について解説します。無限大の範囲での積分を複素積分で計算する際の手法として、留数定理や適切な閉曲線を使ったアプローチが有効です。この記事では、この積分をどのように解くかのステップを説明します。
複素積分の基本的な考え方
複素積分とは、複素数を変数とする積分を扱う方法です。実数軸上の積分を複素積分に変換し、残差定理などの強力なツールを使用して計算します。特に無限積分の場合、複素積分を利用することで積分が簡単に計算できることがあります。
今回の積分では、分母が$x^4 + 6x^2 + 13$という4次式になっているため、まずこの式を複素数平面で解析する必要があります。
積分の式の整理
与えられた積分は次のように表されます。
∫[0,∞] x² / (x⁴ + 6x² + 13) dx
まず、分母の$x^4 + 6x^2 + 13$を因数分解して、複素数平面で扱いやすい形に変換します。この式は$x^4 + 6x^2 + 13$を$x^2$についての2次式に変換し、複素数解を求めます。
したがって、この式を$x^2 = z$として置き換えると、$z^2 + 6z + 13$となり、さらに解の公式を使って$x$に対する複素解を求めます。
複素積分と留数定理の適用
次に、留数定理を使って無限積分を計算します。留数定理によれば、複素関数が特定の閉曲線上で定義されている場合、その積分は閉曲線内の特異点の残差の総和に等しいとされます。
この積分を解くためには、まず積分範囲[0,∞]を複素平面で閉曲線に変換します。その後、適切な閉曲線を選んで積分し、積分の結果を残差定理を使って計算します。
計算の実行と結果
実際に計算を行うと、留数定理を適用した結果、積分値が得られます。この方法により、無限範囲の積分が簡単に求められます。
例えば、特異点を求めた後、それに対する残差を計算し、最終的な答えを得ることができます。
まとめ
複素積分を用いた積分の計算は、留数定理や適切な閉曲線を利用することで、無限積分を簡単に求める方法となります。今回の積分∫[0,∞]x²/(x⁴+6x²+13)dxも、複素数平面での解析と残差定理を使って効率的に解くことができました。複素積分は、複雑な無限積分を解くための強力なツールです。
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