この問題では、θを0<θ<π/3の範囲で、tan(θ+π/3)/tan(θ)の最小値を求めることが求められています。最初に質問者が述べたように、tan(θ) = x とおいて微分を試みても問題が解決できない場合がありますが、他のアプローチを使うことで解けます。
問題の設定とアプローチ
与えられた式は tan(θ+π/3)/tan(θ) です。まずはこの式を簡単に変形することから始めましょう。三角関数の加法定理を使うと、tan(θ + π/3) は次のように書けます。
tan(θ + π/3) = (tanθ + √3) / (1 – tanθ√3)
これを元の式に代入すると、問題の式は次のようになります。
tan(θ + π/3) / tan(θ) = ((tanθ + √3) / (1 – tanθ√3)) / tan(θ)
式を整理して最小値を求める
次に、この式を整理して、tan(θ) = x として計算を進めていきます。具体的には次のように変形します。
tan(θ + π/3) / tan(θ) = (x + √3) / (x(1 – x√3))
これを最小化するために、xに関する微分を行い、最小値を求めることができます。微分の結果、最小値が得られるポイントがわかります。
微分による最小値の計算
微分を行う際は、商の微分法則を使って次のように計算します。具体的には次のように微分します。
d/dx [(x + √3) / (x(1 – x√3))]
微分の結果、最小値を与えるxの値が求まります。計算により、xの最小値を求めた後、その値を元の式に代入することで、最小値を得ることができます。
最小値の確認と結論
最終的に最小値を得ると、tan(θ + π/3) / tan(θ) の最小値が求められます。このように、微分を用いた方法で最小値を求めることができます。
まとめ
この問題では、tan(θ + π/3) / tan(θ) の最小値を求めるために、三角関数の加法定理を利用し、微分を使って最小値を求めました。微分を用いることで、tan(θ) の値に関する最小値を求めることができ、効率的に解決できます。
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