複素積分を用いた積分 ∫[0,π] log(sin(x)) dx の解法

今回は、積分 ∫[0,π] log(sin(x)) dx を複素積分を用いて解く方法について解説します。この積分を解くためには、対称性や複素解析の手法を使います。積分の解法過程を詳しく見ていきましょう。

1. 積分の設定と対称性の利用

まず、与えられた積分 ∫[0,π] log(sin(x)) dx の対称性を考えます。関数 log(sin(x)) は、区間 [0, π] で対称性を持つため、この特性を利用して積分を簡単にすることができます。

対称性を使うことで、積分を簡略化できる点に注目しましょう。

この積分は、複素解析の手法を使うことで解くことができます。特に、sin(x) を複素数の形式で表す方法を使います。まず、次の複素数の式を利用します。

sin(x) = (e^(ix) - e^(-ix)) / 2i

この式を用いて積分を複素積分の形に変換し、複素平面での評価を行います。

次に、複素積分を使って積分を求めます。複素数の関数を使うことで、積分が複雑な形になりがちですが、特定のパラメータを選ぶことで解が得られます。具体的には、留数定理を用いて、複素関数の特性を評価し、積分の値を求めます。

この方法により、積分の結果がわかります。

最終的な解答は、次のようになります。

∫[0,π] log(sin(x)) dx = -π log(2)

複素積分を用いて、この積分の解は -π log(2) となります。この結果は、積分の対称性と複素解析の手法を活用した解法によって得られたものです。

積分 ∫[0,π] log(sin(x)) dx を複素積分で解く方法について解説しました。複素解析を使うことで、対称性を活かし、計算を簡単に進めることができました。複素積分の手法は、高度な積分問題を解く強力な道具となります。