中学数学でよく出る問題の一つが、式の中の変数を使って特定の条件を満たす値を求める問題です。今回は、「√(2n – 1) が1桁の整数となるような自然数nを求める」という問題を解く方法を解説します。
1. 問題の整理
問題は、「√(2n – 1) が1桁の整数となるような自然数nは何通りあるか？」というものです。まず、式「√(2n – 1)」が1桁の整数であるという条件を整理しましょう。
1桁の整数とは、-9から9までの整数です。しかし、√(2n – 1)は負の値を取らないため、考えるべき整数は0から9までです。このことを踏まえて、問題を解いていきます。
2. 条件式を立てる
「√(2n – 1)」が1桁の整数であるためには、以下の不等式が成立します。
0 ≤ √(2n - 1) ≤ 9
次に、この不等式を2乗して、2n – 1の範囲を求めます。
0 ≤ 2n - 1 ≤ 81
この不等式を解くと、以下のようになります。
1 ≤ 2n ≤ 82
0.5 ≤ n ≤ 41
3. 自然数nを求める
nは自然数なので、nの値は1から41までの整数です。しかし、nが整数であるためには、式「2n – 1」の値が完全に平方数でなければなりません。つまり、2n – 1が平方数になるようなnを求めます。
平方数とは、整数の2乗で表せる数です。0から81までの平方数は、1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81です。これらを「2n – 1」に代入して、対応するnを求めます。
4. 具体的なnの値を求める
平方数1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81を順に「2n – 1」に代入して、nを求めます。
- 2n – 1 = 1 → n = 1
- 2n – 1 = 4 → n = 2.5（自然数でない）
- 2n – 1 = 9 → n = 5
- 2n – 1 = 16 → n = 8.5（自然数でない）
- 2n – 1 = 25 → n = 13
- 2n – 1 = 36 → n = 18.5（自然数でない）
- 2n – 1 = 49 → n = 25
- 2n – 1 = 64 → n = 32.5（自然数でない）
- 2n – 1 = 81 → n = 41
したがって、nの値は1, 5, 13, 25, 41の5通りです。
5. まとめ
式「√(2n – 1)」が1桁の整数となるような自然数nは、1, 5, 13, 25, 41の5通りです。問題を解く際には、平方数を使って条件を満たすnを見つけることがポイントでした。
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