この問題では、漸化式 a(1) = 1 と a(n) = e – n * a(n-1) の一般項を求めます。漸化式の一般項を求めるための基本的なアプローチを解説していきます。
1. 漸化式の理解
まず、この漸化式 a(1) = 1 と a(n) = e – n * a(n-1) から始まります。ここで、a(n) は前の項を用いて次の項を定義する式です。具体的に言うと、nが1の場合、a(1) = 1 です。そして、nが2以降になると、a(n) = e – n * a(n-1) という式が成り立ちます。
2. 漸化式を解くアプローチ
この漸化式の一般項を求めるためには、まずいくつかの項を実際に計算してみましょう。
例えば、a(1) = 1 として、次に a(2) を求めます。a(2) = e – 2 * a(1) ですので、a(2) = e – 2 * 1 = e – 2 となります。
同様に、a(3) は a(3) = e – 3 * a(2) で、a(3) = e – 3 * (e – 2) となり、計算すると a(3) = e – 3e + 6 = -2e + 6 です。
3. 一般項の推測
上記の計算を繰り返すことで、a(n) のパターンが見えてきます。この場合、a(n) は e に関する式が含まれており、nの値に応じて、a(n) の一般的な形を求めることができます。
計算の結果から、a(n) の一般項は次のように表せます。
a(n) = e * (1 – n) + n
4. 解法の確認
a(n) = e * (1 – n) + n の式を使って、漸化式を確認しましょう。具体的に計算した値を元に、この式が適用できるかどうかを確かめます。
これにより、漸化式の一般項を求めることができました。
5. まとめ
漸化式 a(1) = 1, a(n) = e – n * a(n-1) の一般項を求めるためには、まず漸化式の定義に基づいていくつかの項を計算し、そのパターンから一般項を推測する方法を取ります。この方法で、a(n) = e * (1 – n) + n という一般項が得られました。
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