質問者が示した式「α + β = k + 2 > 0, αβ = 1 > 0」から、αとβが正の数であることは確認できます。しかし、なぜ「0 < α < β」になるのかを理解するには、いくつかの数学的な手法を使って解説できます。
1. 与えられた条件
まず、式を整理しましょう。与えられた条件は次の通りです。
- α + β = k + 2 > 0
- αβ = 1 > 0
この情報から、αとβは正の数であり、またその積が1であることがわかります。ここからαとβがどのように関連しているかを調べます。
2. 二次方程式を使う
αとβを解くためには、これらの条件を元に二次方程式を立てることが有効です。一般的に、2つの数の和と積が与えられたとき、これらは二次方程式の解として表現できます。具体的には、次のようにします。
x^2 – (α+β)x + αβ = 0
ここで、α + β = k + 2 であり、αβ = 1 であるため、方程式は次のように書けます。
x^2 – (k+2)x + 1 = 0
この二次方程式を解くことで、αとβの値が求まります。
3. 解の大小関係
次に、この方程式の解の大小関係を調べます。解の公式を使って二次方程式を解くと、解は次のように求められます。
x = (k+2 ± √((k+2)^2 – 4)) / 2
ここで、√((k+2)^2 – 4)は必ず正の値を持つため、2つの解が得られます。このとき、解の大小関係を調べるためには、解の公式における±の符号が重要です。αとβは、必ずα < βという順番になります。なぜなら、解の公式で＋の符号を選べる解がβ、－の符号を選べる解がαに対応するためです。
4. 結論
したがって、αとβは0 < α < βという関係を満たします。この関係は、解の公式によって導かれたもので、解が常に一方が小さく、他方が大きいという特性を持つことを示しています。
5. まとめ
今回は、与えられた条件からαとβの大小関係を導出する方法を説明しました。二次方程式を使うことで、αとβの関係を明確にし、その結果、0 < α < βであることがわかります。数学の問題を解くときは、与えられた情報をうまく活用して解法に結びつけることが重要です。
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