解の種類を判別するための方法とその詳細について

この問題では、二次方程式の解の種類を判別する方法に関する質問です。特に、係数kが変化する場合に、解がどのように変わるか、また、判別式を使った解の分類について理解を深めます。

1. 解の種類を判別するための基本的なアプローチ

二次方程式の解の種類を判別するためには、判別式（Δ）を使用します。一般的な二次方程式 ax² + bx + c = 0 の判別式は、Δ = b² – 4ac です。この判別式に基づいて、解の種類を次のように分類します。

問題にある方程式は、kx² – 2x – k = 0 です。この方程式に対して、判別式を計算して解の種類を判別します。

まず、この方程式の判別式を求めるために、一般的な形式 ax² + bx + c = 0 と照らし合わせると、a = k, b = -2, c = -k となります。したがって、判別式 Δ は次のように計算されます。

Δ = (-2)² – 4(k)(-k) = 4 + 4k² = 4(1 + k²)

ここで、k = 0 の場合と k ≠ 0 の場合について考えます。

k = 0 の場合：方程式は -2x = 0 となり、x = 0 という一つの解になります。
k ≠ 0 の場合：Δ = 4(1 + k²) となり、k² は常に正の値なので、1 + k² > 0 となり、Δ > 0 となります。このため、解は異なる2つの実数解を持ちます。

判別式 Δ が0より大きい場合、異なる2つの実数解が得られ、Δ が0の場合は重解（同じ解が2つ）となります。Δが負の場合は、実数解がなく、虚数解が得られるという特性があります。

問題の方程式では、k ≠ 0 の場合には、常に異なる2つの実数解を持つことが分かります。k = 0 の場合は一つの解になるため、虚数解の可能性は考慮する必要はありません。

二次方程式の解の種類を判別するためには、判別式 Δ を利用するのが基本です。問題の方程式では、k = 0 の場合に一つの実数解が得られ、k ≠ 0 の場合には異なる2つの実数解が得られることが分かりました。虚数解については、この場合の解の種類には影響を与えないことが確認できました。