正の整数nにおける特殊な関係式を解く方法

今回は、正の整数nに対して定義された[n]という関数の特性について考えます。この関数は、nを素因数分解したときに現れる素数を1つずつ掛け合わせた数として定義されています。例えば、12=2×2×3なので[12]=2×3=6となります。

1. 問題の設定
2. [n]の性質
3. [a×b] = [a]×[b]が成り立つ条件
4. 結論
5. まとめ

1. 問題の設定

問題文では、次のような条件が与えられています。「正の整数aとbに対して[a×b]=[a]×[b]が成り立つようなaとbの条件を求めなさい。」この関係式が成り立つ条件を求めるために、まずは[n]の性質を理解することが大切です。

2. [n]の性質

[n]は、nの素因数分解において現れる素数を1つずつ掛け合わせた数です。例えば、n=12の場合、12を素因数分解すると、12 = 2 × 2 × 3 となります。この場合、[12]は2と3を掛け合わせた6になります。

このように、[n]はnの素因数に現れる素数を掛け合わせた数になります。次に、この性質を使って問題に取り組んでいきます。

3. [a×b] = [a]×[b]が成り立つ条件

問題文の関係式 [a×b] = [a]×[b] が成り立つためには、aとbの素因数が重ならないことが必要です。なぜなら、aとbの積であるa×bの素因数にaとbのそれぞれの素因数がそのまま現れるため、aとbの素因数が重なっていると、[a×b]は[a]×[b]とは異なる結果を返すことになるからです。

例えば、a=6（6 = 2 × 3）、b=10（10 = 2 × 5）とした場合、aとbの素因数に共通の素数（2）が含まれているため、[a×b] = [60]は2 × 3 × 5 = 30 となりますが、[a] × [b]は[6] × [10] = 6 × 10 = 60 となり、両者は一致しません。