行列の積は、行列がどのように他の行列に作用するかを理解するために重要です。この問題では、3次正方行列A、X、Yに関する積について説明し、「X、Yを左からかけることがAにどのような操作をしているか」を求める問題です。この記事では、行列の積がどのような変換を行うかについて詳しく解説します。
1. 行列A, X, Yの定義
まず、与えられた行列A、X、Yの定義を確認しましょう。
- A = [a b c / d e f / g h i]
- X = [α 0 0 / 0 1 0 / 0 0 0]
- Y = [1 α 0 / 0 1 0 / 0 0 1]
ここで、αはスカラーです。行列XとYは、特定の形式を持つ行列で、Xはαを1行目の1列目に、Yはαを2行目の2列目に配置しています。
2. 行列の積とは？
行列の積を求める際には、まず各行列の積を計算します。XとYをAに左から掛けるとき、これらは行列の変換を行います。行列AにXを左から掛ける操作は、行列Aの各列にXの対応する行が掛けられ、行列Aの変換を表します。
同様に、YをAに左から掛ける操作も行列Aに影響を与え、行列Aの列の変換を表します。
3. 行列XがAに与える影響
行列XをAに左から掛けると、Aの行列の1列目がα倍され、その他の列は変更されません。具体的には、Aの1列目にαを掛けることが行われるため、次のような結果になります。
- 新しい1列目は [αa, αd, αg] になります。
- 2列目と3列目はそのままで、行列Xによる影響は1列目にのみ現れます。
これは、行列Xが行列Aの1列目のスカラー倍を行っていることを意味します。
4. 行列YがAに与える影響
次に、行列YをAに左から掛けると、Yの2列目のαが影響を与えます。行列Yは、Aの2列目にαを掛け、その他の列はそのままで変化しません。結果として、Aの2列目がα倍され、次のような影響を与えます。
- 新しい2列目は [αb, αe, αh] になります。
- 1列目と3列目はそのままで、行列Yによる影響は2列目にのみ現れます。
したがって、行列Yが行列Aの2列目に対してスカラー倍の操作を行うことになります。
5. まとめ
行列XとYをAに左から掛けることは、それぞれの行列がAの特定の列に対してスカラー倍の操作を行うことを意味します。具体的には、XがAの1列目をα倍し、YがAの2列目をα倍するという操作が行われます。このように、行列の積を理解することで、行列がどのように他の行列に変換を加えるのかを把握することができます。
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