高校数学Bの問題でよく出てくるのが、箱とカードを使った確率の問題です。今回の問題では、4つの箱に1〜4の番号がつけられ、それぞれの箱に1枚ずつカードが無作為に入れられる状況です。この問題では、カードの番号と箱の番号が一致する個数Xを求め、その確率分布を計算することが求められています。この記事では、この問題を解くための方法を解説します。
問題の整理
まず、問題を整理しましょう。4つの箱があり、1から4までの番号がつけられています。そして、1〜4の番号がつけられた4枚のカードを1つの箱に1枚ずつ無作為に入れます。このとき、カードの番号と箱の番号が一致する個数Xを求めることが求められています。
(1) Xの確率分布を求める
カードの番号と箱の番号が一致する個数Xは、カードと箱が一致する場合の数です。この問題を解くためには、まず箱にカードを無作為に入れる方法の総数を考えます。それは4!（4の階乗）通りです。次に、カードの番号と箱の番号が一致する場合の数を求めます。
Xの確率分布を求めるには、Xが0, 1, 2, 3, 4の場合における確率をそれぞれ計算し、その値を確率分布として表します。例えば、X=0の場合は、カードと箱が全く一致しない場合です。この場合の数を求め、その確率を求めます。
(2) 確率 P(X>2) と P(X≤2) を求める
次に、P(X>2) と P(X≤2) の確率を求めます。P(X>2) は、カードと箱が一致する個数Xが3以上である確率です。X=3の場合、X=4の場合の確率を求め、その合計をP(X>2)とします。同様に、P(X≤2)はXが2以下である確率で、X=0, 1, 2の場合の確率をそれぞれ計算し、その合計を求めます。
まとめ
この問題では、箱にカードを無作為に入れる場合の確率分布を求め、Xの値に基づいて確率を計算しました。確率分布を求める際には、場合分けをして計算を進めることが重要です。また、確率P(X>2)やP(X≤2)の求め方についても、確率分布を利用して計算することがポイントです。
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