統計学における標準偏差の計算方法や正規分布の特性について理解することは非常に重要です。この記事では、特定の問題「社員の体重の正規分布による確率計算」の解答に関連して、標準偏差がどのように計算されるかを解説します。特に、複数の独立した確率変数が結合された場合の標準偏差の計算方法について理解を深めていきましょう。
問題の確認と解答の流れ
問題では、社員の体重が正規分布で近似できるとされています。与えられた条件から、体重の平均μ = 55.6、標準偏差σ = 7.2という情報があります。この情報を元に、制限重量600kgのエレベーターに10人乗り込んだとき、制限重量を超える確率を求める問題です。
解答は、10人の総体重Sの平均が556、標準偏差が22.77であるとされていますが、標準偏差が7.2×√10になる理由に焦点を当てます。
標準偏差の合成法
問題のように、複数の確率変数が加算される場合、それぞれの標準偏差はどのように合成されるのでしょうか。まず、1人あたりの体重Xが正規分布N(μ, σ²)に従うとき、10人分の体重Sは、各々の体重Xが独立しているため、標準偏差が√10倍されます。
これを式で表すと、Sの標準偏差はσ√nであり、nが人数、σが元々の体重の標準偏差になります。つまり、体重の標準偏差σ = 7.2で、人数n = 10の場合、Sの標準偏差は7.2×√10になります。
標準偏差7.2×√10の意味
ここで重要なのは、標準偏差の合成方法です。1人分の標準偏差7.2をそのまま使うのではなく、人数n=10に対して標準偏差は√n倍されます。このため、総体重Sの標準偏差は7.2×√10となり、約22.77になります。この値が最終的に確率計算に利用されます。
もし個々の体重が独立しておらず、相関があれば、標準偏差の合成方法は異なりますが、ここでは独立した確率変数として扱われています。
確率計算の手順
問題では、10人の総体重が600kgを超える確率を求めています。まず、標準化を行って、標準正規分布Zを使って計算します。Z値を求める式は次の通りです。
Z = (600 – 556) / 22.77 ≈ 1.93
その後、標準正規分布表を使ってP(Z > 1.93)を求めると、その確率は約0.027になります。これが、制限重量を超える確率です。
まとめ
この問題では、標準偏差が√n倍される理由を理解することが鍵でした。人数が増えることで、標準偏差がどのように変化するのかを知ることは、統計学における重要なポイントです。体重のような正規分布に従う確率変数を扱う際には、標準偏差の合成方法をしっかり把握して、正確な計算を行いましょう。
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