正多角形の対角線の本数の求め方と解説

正多角形の対角線の本数を求める問題は、角度の計算と組み合わせることで解くことができます。ここでは、1つの外角が12°である正多角形の対角線の本数を求める方法について解説します。

正多角形の外角と辺の関係

正多角形の外角は、必ず360°を辺の数で割ったものと等しくなります。外角の大きさが12°と与えられているので、まずその情報から正多角形の辺の数を求めます。

外角の大きさは、360° ÷ 辺の数で求められるため、12° = 360° ÷ n という式が成り立ちます。この式を解くと、n = 30となり、この正多角形は30辺を持つことが分かります。

正多角形の対角線の本数は、次の式で求めることができます。

対角線の本数 = n × (n – 3) ÷ 2

ここでnは辺の数です。先ほど求めた辺の数n = 30を式に代入して計算します。

対角線の本数 = 30 × (30 – 3) ÷ 2 = 30 × 27 ÷ 2 = 405本

外角が12°である正多角形では、辺の数が30であり、その対角線の本数は405本です。この方法で、他の正多角形にも適用することができます。