解の公式とは、2次方程式の解を求めるための公式です。この公式を使うと、一般的な形の2次方程式を解くことができます。ここでは、解の公式の証明を簡単に説明します。
2次方程式の形と解の公式
まず、2次方程式は一般的に以下の形をしています。
ax^2 + bx + c = 0
この式の解を求めるのが解の公式の目的です。解の公式は次のようになります。
x = (-b ± √(b² – 4ac)) / 2a
解の公式を導く手順
解の公式を導くためには、まず2次方程式を標準形にします。標準形とは、ax² + bx + c = 0の形です。
次に、この式を解くために「平方完成」という手法を使います。平方完成とは、方程式を展開して、左辺を完全な2乗にする方法です。
平方完成の手順
まず、2次方程式をax² + bx = -cの形にします。次に、左辺のx²の係数が1になるように両辺をaで割ります。すると、
x² + (b/a)x = -c/a
となります。次に、x²とxの項を完全な2乗にするために、左辺に(b/2a)²を加えます。こうすることで、左辺が完全な2乗の形になります。
完成した式
左辺が完全な2乗になると、以下のように式が変化します。
(x + b/2a)² = (b² – 4ac) / 4a²
この式から、xを求めるために平方根を取ります。最終的に得られる解が解の公式となります。
まとめ
解の公式は、2次方程式を解くために非常に便利な公式です。平方完成を使うことで、一般的な2次方程式の解を求めることができます。式の証明方法を理解することで、解の公式をしっかりと覚え、テストで役立てましょう。
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