積分問題の解説: cosΘ = t への置き換えとその後の計算方法

この問題では、積分を解くために変数変換を行う方法について解説します。具体的には、積分式 v=2π・∫範囲(π→0)(1-cos^2Θ)・sinΘ dΘ を変数 t を使って簡略化していきます。変数変換は積分計算を効率よく解くために重要な手法です。

1. 変数変換の基本的な考え方

積分において、変数を置き換えることで計算を簡単にする方法を変数変換と呼びます。ここでは、cosΘ = t と置くことで積分を簡素化しています。この方法を使うと、元の三角関数の積分をより扱いやすい形に変えることができます。

ここでは、cosΘ = t とおいた際に、dΘの部分も変換が必要です。dΘはtに関する微分に変換され、これが後で重要になります。

最初に与えられた式は v=2π・∫範囲(π→0)(1-cos^2Θ)・sinΘ dΘ です。次に cosΘ = t とおいたので、sinΘ dΘ は微分の関係により -dt になります。したがって、dΘ を t に関する微分に変換する必要があり、これにより積分式は次のようになります。

v=2π∫範囲(-1→1)(1-t^2)・(-1)dt

変数変換後の式では、積分範囲が cosΘ=1 から cosΘ=-1 に変わることを確認します。これにより、積分範囲は-1から1までになります。さらに、積分の内容も単純化され、計算が進めやすくなります。

ここで重要なのは、-sinΘ dΘ = dt という変換が積分式を簡潔にするための鍵となっている点です。これにより、三角関数の計算が容易になります。

積分式がすでに簡略化されたので、次はそのまま積分を行うだけです。積分範囲も-1から1に変わり、積分する関数は (1 – t^2) という形になります。具体的には、v = 2π ∫(1 – t^2) (-1) dt となり、この積分を解くことで最終的な解答を得ることができます。

この手順では、積分範囲と積分する関数をしっかりと理解し、変数変換後に積分する方法を意識して進めていくことが大切です。

変数変換を行うことで、三角関数を含む複雑な積分を簡素化することができました。変数 t による置き換えとその微分の変換は、計算を効率化するために非常に重要なステップです。今回のように変数変換を行うことで、難しい積分問題でもスムーズに解くことができます。