一次関数の最大値と最小値を求める方法と解説

今回は、y = -2x^2 – 4xという関数について、指定された範囲で最大値と最小値を求める問題を解説します。範囲は-3 < x < 0で、最小値が存在しない理由についても説明します。

1. 関数のグラフと最大値・最小値

まず、与えられた関数y = -2x^2 – 4xを見ていきましょう。この関数は2次関数であり、一般的に2次関数のグラフは放物線を描きます。ここでは、xが-3から0の範囲内でその関数を評価します。

この式y = -2x^2 – 4xは、係数aが負であるため、下に凸の放物線になります。つまり、この関数は最大値を持ちますが、最小値はありません。最大値は、放物線がy軸に接する部分で見つかります。

まず、y = -2x^2 – 4xの微分を求めます。微分を使って、関数の増減を調べ、最大値や最小値を計算できます。

y' = -4x - 4

微分結果が0となる点を求めると、x = -1となります。これが、最大値を持つxの位置です。この時、yの値は

y(-1) = -2(-1)^2 - 4(-1) = -2 + 4 = 2

です。よって、最大値は2です。

なぜ最小値がないのでしょうか？2次関数の形状により、下に凸の放物線は無限に下に広がっています。そのため、最小値は存在せず、yの値はどんどん小さくなっていきます。

この関数の範囲-3 < x < 0において、最大値はx = -1でy = 2となり、最小値は存在しません。最小値がない理由は、放物線の下端が無限に下がっているためです。特にx = -3やx = 0においても、最小値が存在しないことがわかります。