正の整数列の逆数和を最大化する問題と連続比較の考察

任意のn個およびn+1個の正の整数列の逆数の総和を、指定された条件下で最大化する問題について考えます。このような最適化問題では、整数列の値の選び方や順序が重要な役割を果たします。

逆数和最大化の基本原理

逆数の総和を最大化するためには、各整数をできるだけ小さくすることが基本です。ただし、整数は互いに異なり昇順である必要があります。

したがって、n個の整数列a[1],…,a[n]の最適な組は、a[1]=1, a[2]=2, … というように最小の連続整数を選ぶ形が多くなります。

n+1個の整数列b[1],…,b[n+1]でも同様に逆数和を最大化するには、可能な限り小さい整数を順に配置することになります。この場合、b[1]=1, b[2]=2, …, b[n+1]=n+1のように選ぶと逆数和が増えます。

この最適化の手法に従うと、元のn個の最小の整数は、そのままn+1個の整数列にも含まれます。したがって、k=1,…,nにおいてa[k]=b[k]となることが基本的に成り立ちます。

ただし、より大きなnや制約条件によっては、最適解の整数列の構成が変わる場合がありますが、最も単純なケースでは同一の配置が保持されます。

逆数和を最大化する整数列を昇順で選ぶ場合、n個の最適整数列とn+1個の最適整数列は、先頭からn個までの整数が一致するのが自然です。つまり、a[k]=b[k] (1≤k≤n)となる傾向があります。この考え方を応用すると、類似の整数列最適化問題でも順序の保持が重要であることが理解できます。