問題は、1を1個以上使う正の整数を小さいものから順に並べた場合、初めて「1000」が現れる位置を求めるというものです。ここではその方法を詳しく解説します。
1. 数列の規則性を確認する
まず、数列の規則性を確認しましょう。1を1個以上使う正の整数とは、例えば1, 11, 12, 13, 14, 15, …, 19, 21, 22, 23, 31, …と続きます。この数列では、1を使った全ての正の整数が並べられますが、「1」の個数に制限はありません。つまり、1桁の数から始まり、次に11や12など2桁の数が続き、さらに大きな数が並んでいきます。
この規則に従って並べると、初めて「1000」が登場するタイミングを求めることができます。
2. 各桁の数を順番に数える
1桁の数は1, 11, 12, …, 19までで19個です。次に、2桁の数は21, 22, …, 99までの数が続きます。さらに3桁、4桁と数が増えていきます。
「1000」という数は4桁の数です。そこで、この数が何番目に現れるかを数えるために、1桁、2桁、3桁の数を順に数えていきます。
3. 計算方法
まず、1桁の数は19個。次に2桁の数は、10から99までで、(99 – 10 + 1) = 90個です。3桁の数は100から999までで、(999 – 100 + 1) = 900個です。
つまり、1000は4桁目の数であり、1桁、2桁、3桁の数を合わせた合計の後に登場します。これを順番に足し合わせると、19 + 90 + 900 = 1009番目です。
4. 結論
このように、1を1個以上使う正の整数を並べた場合、初めて「1000」が登場するのは1009番目になります。
5. まとめ
1を1個以上使う正の整数で、「1000」が現れる位置は1009番目です。この問題を解くためには、数列の規則性をしっかりと理解し、1桁、2桁、3桁と順に数えていくことが重要です。
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