分数n/2025が有限小数になるnの個数を求める方法

1≦n<2025を満たす整数nに対して、分数n/2025が有限小数になるようなnの個数を求める問題について解説します。この問題では、分数が有限小数になるための条件を理解し、その条件を満たすnの個数を計算します。

有限小数とは？

有限小数とは、無限に続かず、桁数が有限である小数のことです。分数が有限小数になるための条件は、分母が素因数分解されたときに2と5だけを含んでいることです。つまり、分数の分母が2と5以外の素因数を持っている場合、その分数は無限小数になります。

まず、2025を素因数分解します。

2025 = 5^2 × 3^4

したがって、n/2025が有限小数になるためには、分母の3^4が約分される必要があります。つまり、nには3の倍数が含まれていなければなりません。nが3の倍数であれば、分子のnと分母の3^4が約分され、最終的に分母は5の冪だけを含む形になります。これにより、n/2025は有限小数となります。

次に、1≦n<2025を満たす整数nの中で、3の倍数であるものの個数を求めます。

1≦n<2025の範囲で3の倍数は、3, 6, 9, ..., 2022までの整数です。これらの数は、3の倍数である整数が2025 ÷ 3 = 675個あります。したがって、n/2025が有限小数になるためのnの個数は675個です。

分数n/2025が有限小数になるための条件は、nが3の倍数であることです。1≦n<2025の範囲で、nが3の倍数である整数の個数は675個です。この問題を解くためには、分母の素因数分解を理解し、その条件を満たすnの個数を求めることが重要です。